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Somme des n premiers nombres entiers


novae

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Ceci n'est pas une énigme, ni un jeu mais une anecdote intéressante.

 

Connaissez-vous la formule qui permet de calculer la somme des n premiers entiers ?

 

Par exemple comment calculer la somme 1+2+3+....+28 ?

 

bien sûr on peut prendre la calculette et faire toutes les sommes les unes après les autres mais il existe une formule simple qui permet d'avoir directement le résultat.

 

Cette formule est n*(n+1)/2

 

Dans notre exemple n=28 donc le résultat est 28*29/2=406

 

Si vous n'êtes pas convaincu prenons un exemple plus simple avec n=5

 

1+2+3+4+5=15

 

n*(n+1)/2=5*6/2=15

 

On raconte que celui qui a trouvé cette formule est le mathématicien Gauss alors qu'il n'était encore qu'un petit garçon !

 

On raconte qu'à l'école primaire, le maître étant un peu excédé par les bavardages des écoliers, il leur donna comme exercice pour les occuper de calculer la somme des 100 premiers entiers 1+2+3+4+5......+100

 

Alors que tous les écoliers s'affairaient à faire les différentes additions, le jeune Gauss réfléchit un peu puis donna le résultats au maître : 5050

 

Quand on lui demanda comme il avait fait pour trouver les résultat il expliqua qu'il avait imaginé compter le nombre total de cailloux disposés de la sorte en triangle avec 1 caillou au sommet et 100 cailloux à la base

 

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Il expliqua avoir alors imaginé prendre un deuxième triangle pareil au premier sauf qu'il l'a retourné pour avoir 100 cailloux en haut et 1 caillou en bas

 

tri2.jpg&key=8e6ca0012254a26e46252f6de1f849c6948b1a04d5485d05d64d0be93f0cbfd6

 

enfin il a imaginé coller les 2 triangles l'un à côté de l'autre pour obtenir un rectangle avec 101 cailloux de longueur (1+100) et 100 cailloux en hauteur

 

rect.jpg&key=819667b887558844531d055458cdd83888bf4d9f4b612864297061f6c505294e

 

Or calculer la somme de tous les cailloux du rectangle revient à faire 101*100=10100

 

Comme il a utilisé 2 triangles, il suffisait alors de diviser le résultat par 2 soit 10100/2=5050

 

Ingénieux, n'est-ce pas, surtout pour un petit écolier !!!

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De façon peut-être moins visuelle, cela revient à écrire 2 fois la somme mais une fois du plus petit au plus grand et une fois du plus grand au plus petit :

 

1 + 2 + 3 +.........+ 98 + 99 + 100

 

100 + 99 + 98 + ....... + 3 + 2 + 1

 

 

Si on fait maintenant la somme des 2 lignes colonne par colonne, ça donne

 

101 + 101 + 101 + .............101 + 101 + 101

 

et cela 100 fois, donc 101*100 = 10100

 

Après il suffit de diviser par 2

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